Exemple de calcul lorsque le signe de la fonction change

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x-2\). On cherche à calculer \(\displaystyle\int_0^5 f (x)\ \text dx\).
La fonction \(f\) est affine, elle est négative sur l'intervalle \(\left[0~;~2\right]\) et positive sur \(\left[2~;~5\right]\). La figure suivante illustre la situation.

L'aire \(\mathcal A_1\) sous la courbe entre \(0\) et \(2\) correspond à l'aire d'un triangle rectangle isocèle de côté \(2\), on a\(\mathcal A_1=\dfrac{2\times2}{2}=2\) u.a.
L'aire \(\mathcal A_2\) sous la courbe entre \(2\) et \(5\) correspond à l'aire d'un triangle rectangle isocèle de côté \(3\), on a \(\mathcal A_2=\dfrac{3\times3}{2}=4,5\) u.a.

On en déduit \(\displaystyle\int_0^5 f (x)\ \text dx=-\mathcal A_1+\mathcal A_2=-2+4{,}5=2{,}5\) u.a.